Primos entre si

Podemos dizer que dois números são primos entre si quando o único divisor comum entre eles for 1.

Ex: 4 e 15 ; 30 e 7 etc...
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M.M.C. - Mínimo Múltiplo Comum

Múltiplos

Dizemos que um número é múltiplo de outro se aquele foi divisível por esse. Veja:

48 é multiplo de 8, pois pode ser divido por 8 sem que sobre resto.

M.M.C

O mínimo múltiplo comum é o menor múltiplo comum entre dois ou mais números. Veja a regra prática para que se descubra o MMC:

1º - Decompomos simultaneamente os números dados, que, nesse caso, serão o 72 e o 48:


2º - Agora, basta multiplicar todos os números primos que surgiram da decomposição.

2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3
16 . 9
144

Logo, 144 é o MMC {72,48}.

Propriedades do MMC

~~> Dados 3 números para que o MMC seja descoberto, se o maior deles puder ser dividido pelos outros, ele será o MMC:

MMC {14,7,2} = 14, pois 14 pode ser dividido por 7 e por 2.

~~> Dados 2 ou mais números que um não possa dividir o outro, o mmc será o produto entre eles:

MMC {30,7} = 210


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M.D.C - Máximo Divisor Comum

O máximo divisor comum é o maior número que possa dividir dois ou mais determinados números ao mesmo tempo. O MDC é muito usado nas simplificações de frações, uma vez que encontra o número exato que, dividindo o numerador e o denominador, torna a fração irredutível.

Vamos à regra prática para o cálculo do MDC.

- Usaremos os número 72 e 48.

1º - Decompomos os dois números de uma vez. Como assim? Iremos fazer o mesmo que fazemos para decompor um número, só que, desta vez, serão dois números em uma mesma armação. Veja:


2º - Agora, vamos selecionar os números primos que dividiram simultaneamente os dois números e os multiplicamos.


2 . 2 . 2 . 3
8 . 3
24

O MDC {72,48} = 24
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Regras do "Quem são" e "Quantos são"

Para facilitar e agilizar a resolução de algumas atividades, foram criadas as regras do "quem são os divisores" e "quantos são os divisores".

Quantos são

Para sabermos quantos divisores um número possui, basta decompô-lo em fatores primos e somar cada expoente obtido com 1 e depois multiplicar os resultados obtidos. Veja um exemplo com o número 50:


Os expoentes obtidos foram 1 e 2 (2¹ e 5²). Agora, vamos fazer:

(1 + 1) . ( 2 + 1)
2 . 3
6

Em suma, o número 50 possui 6 divisores. Agora, vamos descobrir quais são esses divisores.

Quais são

Essa regra é um pouco mais complexa, portanto vamos passo a passo. Usaremos o número 50 novamente.

1º - Vamos decompor o número 50 e traçar uma linha imaginária ao lado, colocando o número 1 no topo, já que ele é divisor de todos os números:

2º - Multiplicamos o primeiro número primo obtido pela decomposição por 1e colocamos o resultado abaixo do 1. Depois, multiplicamos os outros primos pelos resultados já obtidos e colocamos à direita da linha imaginária:

3º - Agora, multiplicaremos o outro 5 por 1,2,5 e 10.

4º - Eliminamos os repetidos e chegamos à conclusão de que os divisores de 50 são:

1,2,5,10,25 e 50

Se conferir com a regra dos quantos são, estará, provavelmente, correto. Disse provavelmente por causa das falhas nas multiplicações, que devem ser evitadas por meio da prática.
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Números Primos e Decomposição

Os números primos
Os números primos são aqueles números que só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos. Veja um exemplo:

Ex: Os únicos que podem dividir o número 2 são os números 1 e 2, logo, 2 é um número primo, assim como 3,5,7,11,13,17...

Lembrando que 2 é o único número primo par.

- Para saber se um número é primo, basta ir seguindo as regrinhas de divisibilidade e ver se o número em questão se encaixa em alguma ou algumas delas.

Decomposição em fatores primos
Decompor um número em fatores primos é dividi-lo conforme for possível pelos primos que existem. O esquema se dá por meio de uma linha, na qual, à esquerda fica o número a ser decomposto e à direita fica os primos que vão servindo de divisor. Veja o exemplo:

Veja que basta ir dividindo o número em primos. Começa-se sempre divindo por 2 quando o número for par, logicamente. Quando não for par, deve-se começar a tentar descobrir um número primo que possa dividi-lo, onde podemos descobri-lo por meio das regrinhas de divisibilidade. No final, basta multiplicar os primos que surgiram nas divisões.
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Exercícios - Dízimas

1) Diga se a dízima é simples ou composta:

a) 0,33333...
b) 0,45454545...
c) 0,112121212...
d) 0,55525252525...
e) 1,222222...
f) 125,98749875987598759875...

2) Dê a geratriz das dízimas da atividade 1.




AS RESOLUÇÕES ESTÃO INVISÍVEIS. SELECIONE A PARTE EM BRANCO ABAIXO PARA PODER VER AS RESPOSTAS.





1)
a) simples
b) simples
c) composta
d) composta
e) simples
f) composta

2)
a) x = 0,3333
-10x = 3,3333
9x = 3
x = 3/9
x = 1/3

b) x = 0,454545
100x = 45,4545
99x = 45
x = 45/99 (:9)
x = 5/11

c) x= 0,11212...
10x = 1,1212
1000x = 112,1212...
990x = 111
x = 111/990 (:3)
x = 37/330

d) x= 0,55525252525...
1000x = 555,252525...
100000x = 55525,252525...
99000x = 54970
x = 54970/99000 (:10)
x = 5497/9900

e) x= 1,222222...
10x = 12,222...
9x = 11
x = 11/9

f) x= 125,98749875987598759875...
10000x = 1259874,987598759875
100000000x = 12598749875,987598759875...
99990000x = 12597490001
x = 12597490001 / 99990000
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Regras de Divisibilidade

Para facilitar e agilizar o trabalho com divisões, vários matemáticos se empenharam para descobrir algumas regrinhas de divisibilidade. Veja-as:

Divisibilidade por 2
Um número pode ser dividido por 2 se, e somente se for par, ou seja, terminado em 0,2,4,6,8:
Ex: 152365448, 225486440, 8886 etc...

Divisibilidade por 3
Um número pode ser dividido por 3 quando a soma dos seus algarismos foi divisível por 3. Veja:
Ex: 276, 2 + 7 + 6 = 15, que pode ser divido por 3, logo, 276 é divisílvel por 3.

Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando terminar em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4.
Ex: 8000 , 424 (24 pode ser dividido por 4, logo, 424 pode ser dividido por 4)

Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.
Ex: 25, 20, 55550005 etc.

Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando for divisível por 3 e por 2 ao mesmo tempo.
Ex: 2442 é par e a soma dos algarismos é 12, ou seja, são por 2 e por 3, logo, são por 6.

Divisibilidade por 7
Não descoberta.

Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando os 3 últimos algarismos formarem um número divisível por 8.
Ex:10000, 5400 ( 400 pode ser dividido por 8).

Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 9.
Ex: 423 ( 4 + 2 + 3 = 9, que pode ser dividido por 9, logo, 423 pode ser dividido por 9.

Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando terminar em 0.
Ex: 489657450, 4456874980, 111100 etc.

Obs: Ainda existem as divisibilidades por 11,12,15,25, mas acho mais rápido desenvolver o processo de divisão nesses casos.

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