Dízimas Periódicas e frações geratrizes

O que são?

As dízimas periódicas são números racionais que possuem repetição infinita após a vírgula. As dízimas podem ser simples ou compostas:

Simples: possuem, após a vírgula, apenas a parte que se repete. Ex: 0,1111111....

Compostas: possuem, após a vírgula, algum(s) termo(s) que não se repete(m) antes da parte repetitiva. Ex: 0,4522222222...

As frações geratrizes

São aquelas frações que geram determinada dízima periódica. Veja um dos modos mais usados para se encontrar essas frações:

Exs:

-> 0,77777...

X = 0,77777

10x = 7,77777

9x = 7

X = 7/9

-> 0,72222....

10x = 7,2222

100x = 72,2222

90x = 65

x = 65/90

x = 13/18 (simplificação por 5)

Explicação:

Igualamos a dízima a x e depois multiplicamos os dois lados por 10, pois a parte que se repete é formada por apenas um algarismo (se fosse 27 a parte que se repete, por exemplo, multiplicaríamos por 100 e etc.). Depois, cancelamos a parte que se repete e fazemos uma subtração de baixo para cima. Após isso, basta resolver uma equação do primeiro grau que resultará em uma fração e essa será a geratriz.

No segundo exemplo, nós achamos a fração geratriz de uma dízima composta. Veja que eu multipliquei logo por 10 para trazer o termo que não se repete para antes da vírgula. Depois fiz o procedimento do exemplo anterior, só que, como já tinha andado uma casa, eu tive de andar outra, ficando 100x.

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